Beweis Unendlich Unendlichkeiten

Ich war noch nie Freund von Cantor's Diagonalargument. Deshalb danke ich sehr dieser Erklärung hier, die vieles klarer gemacht hat. Hier meine Erklärung dazu:

Finite Mengen lassen sich gut miteinander vergleichen. Die eine hat 12 Elemente, die andere 18, also ist die eine kleiner als die andere. Was aber, wenn beide Mengen unendlich viele Elemente besitzen? Können wir das überhaupt miteinander vergleichen?

Wir müssen also "tricksen". Wir erweitern einfach die Idee, dass wenn alle Gäste auf Stühlen sitzen und weder Gäste noch Stühle übrig sind, es genau gleich viele Gäste wie Stühle geben muss, auf unendliche Mengen:

"Gleich Unendlich"

Mengen $A,B$ heißen gleich mächtig ( $|A|=|B|$ ) eine Bijektion existiert

Wenn wir also annehmen, dass die Mengen $A$ und $B$ gleich mächtig sind und wir definieren eine Funktion für alle nach $B$ , sodass eine eindeutige Umkehrfunktion existiert, aber es bleiben trotzdem Elemente in $B$ übrig, dann muss $B$ wohl doch größer sein.

Cantor ist es gelungen zu zeigen, dass bei einer Abbildung immer unendlich viele Zahlen konstruiert werden können, die nicht im Bild liegen.

Sei $b$ also eine solche beliebige Abbildung in die reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Dann können wir eine Zahl folgendermaßen konstruieren: Kurze Erklärung:

Nimm die $i$ .-te reelle Zahl $b(i)$ und "verschiebe" diese mit , sodass die $i$ .--te Nachkommastelle auf der 0. Dezimalstelle liegt.
Verändere diese Zahl um +1, entferne die Nachkommastellen mit und die Vor-0.-Dezimalstelle mit .
"Verschiebe" die Zahl wieder auf die $i$ .-te Nachkommastelle mit
Dadurch entstehen Zahlen wo alles Null ist, aber genau die $i$ .-te Nachkommastelle ist anders als in $b(i)$ . Wenn wir diese Aufsummieren, dann unterscheidet sich also $z$ von allen $b(i)$

Mein Problem: Was soll den $z$ für eine Zahl sein? Eine Summe bis ins Unendliche? Auf der anderen Seite macht man das bei Pi ja genauso: Es ist ok. Aber es gibt noch einen Beweis der schöner und allgemeiner ist. (Meine Meinung, klar.)

Satz der Übermacht der Potenzmengen

Für eine Menge $A$ gibt es keine bijektive Abbildung $b$ in ihre Potenzmenge , d.h. kann nicht bijektiv sein. Ist , so schreiben wir dann trotzdem

Die kleinste Unendlichkeit ist die der natürlichen Zahlen. Ihre Kardinalität hat daher einen eigenen Namen bekommen ("aleph") Außerdem wird definiert, dass

Angenommen wir hätten den Satz der Übermacht der Potenzmengen bewiesen, dann wüssten wir, dass . Wir wollen zeigen, dass und somit die reellen Zahlen mächtiger sind, als die natürlichen. Zunächst müssen wir stereographisch alle Zahlen auf der Zahlengerade bijektiv auf das Intervall projizieren, z.B. indem wir die Strecke in einen Kreis aufrollen und verkleinern.

Dann wandeln wir die reellen echt-gebrochenen Dezimalzahlen in Binärzahlen um, also ; ; usw. Diese Menge der reellen Binärzahlen ist offensichtlich bijektiv zu . Zuletzt konstruieren wir die bijektive Abbildung mit dieser Vorschrift: Das geht aber nur wenn wir den Satz der Übermacht der Potenzmengen beweisen können.

Wir behaupten also wieder wir hätten eine Bijektion bereits gefunden: Und zeigen, dass wir trotzdem Elemente in finden können, die von $b$ nicht getroffen werden.

Sortiere all in zwei Gruppen: Jene, die auf eine Potenzmenge abgebildet werden, die $a$ nicht enthalten, und jene, die auf eine Potenzmenge abgebildet werden, die $a$ enthalten, also Visualisierung: Hat also das Format ?
Nein, denn es enthält nur $x_i$
Hat das Format ?
Offensichtlich nicht, es enthält ja gerade alle $x_i$ .

Also liegt weder im Bild noch in .

Somit war $b$ also doch nicht surjektiv und ist mächtiger als $A$ .

(Oder anders gesagt: ist übermächtig, muhahaha!)

Offensichtliche Machtverhältnisse

und ist surjektiv
und ist surjektiv

Das ist cool, denn so müssen wir nicht unbedingt eine Bijektion finden. Z.B. ist die Menge aller endlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen () abzählbar. Wir müssen uns aber gar keine komplizierte Abbildung ausdenken, die in beide Richtungen funktioniert, um diese Erkenntnis zu zeigen.

Es reicht: und für $k_1,k_2,...$ sind die Exponenten der Primfaktorzerlegung von
$b$ ist ist surjektiv, also ist .